Contexto: a atividade foi realizada na escola Estadual Fausta Garcia Bueno com os alunos do 9° ano.
Unidade temática: geometria.
Objeto de conhecimento: Teorema de Pitágoras.
Objetivo de aprendizagem: Formulação da ideia do que seria o Teorema de Pitágoras.
Habilidade:
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Recursos: Atividade impressa, quadro e giz.
Tempo estimado: 50 minutos.
Metodologia: Para iniciarmos as atividades relacionadas ao Teorema de Pitágoras, iremos trabalhar antes com a atividade 0 que fará com que os alunos relembrem o cálculo da área de um quadrado.
Atividade 0: precisamos lembrar do cálculo da área do quadrado Você lembra como calculamos a área do quadrado? Considere que cada quadradinho da malha tem 1 cm² de área. Qual é a área de cada quadrado a seguir?
Como você fez para calcular?
Agora se o quadrado tiver como medida de 5 cm de lado, qual será sua área?
Agora se o quadrado tiver como medida de 11 cm de lado, qual será sua área?
Nesta atividade, queremos que os alunos entendam que ao somarmos todos os quadrados menores internos obtemos a área total do quadrado maior, formado pelos quadrados menores. E assim, consigam ver que a relação que se tem é:
A área do quadrado : (lado)²
Após a atividade 0, prosseguimos com as atividades 1 e 2.
Com as próximas atividades queremos que os estudantes conjecturam que a soma das áreas dos quadrados menores é igual a área do quadrado maior. Dessa forma iremos levá-los a construir a ideia do Teorema de Pitágoras (de maneira implícita).
Antes, iremos explicar algumas características de um triângulo retângulo, nome dos lados como catetos e hipotenusa e o fato de ter um ângulo de 90°.
Elementos de um triângulo retângulo
Um triângulo (três lados e três ângulos) com um ângulo de 90°. Hipotenusa: nome do lado oposto ao ângulo de 90°. Catetos: nome dos lados adjacentes ao ângulo de 90°.
Na sequência entregaremos a atividade 1, para analisarem dois triângulos.
Atividade 1
1. Observe e responda:
a) Se colocarmos a área azul dentro do quadrado branco, vai sobrar, preencher exatamente ou faltar espaço a ser preenchido? Justifique.
b) Se colocarmos a área vermelha dentro do quadrado branco, vai sobrar, preencher exatamente ou faltar espaço a ser preenchido? Justifique.
c) Se colocarmos as áreas azul e vermelha dentro do quadrado branco, vai sobrar, preencher exatamente ou faltar espaço a ser preenchido? Justifique.
2. Observe e responda:
a) Se colocarmos a área azul dentro do quadrado branco, vai sobrar, preencher exatamente ou faltar espaço a ser preenchido? Justifique.
b) Se colocarmos a área vermelha dentro do quadrado branco, vai sobrar, preencher exatamente ou faltar espaço a ser preenchido? Justifique.
c) Se colocarmos as áreas azul e vermelha dentro do quadrado branco, vai sobrar, preencher exatamente ou faltar espaço a ser preenchido? Justifique.
Conclusão:
O que você observou nessa atividade em relação aos quadrados do cateto com o quadrado da hipotenusa?
Nesse momento, esperamos que os estudantes percebam que é preciso somar a área dos quadrados azul e vermelho para achar o branco. O professor pode escrever a relação:
1) 25 = 9 + 16, ou seja, 5² = 3² + 4²
2) 676 = 576 + 100, ou seja, 26² = 24² + 10²
O professor pode evitar de falar Teorema de Pitágoras, pois nesse momento ainda não precisa ser demonstrado. Após a realização dessa atividade o professor pode afirmar para os estudantes que esse fato se repetirá para qualquer triângulo retângulo e que depois irá demonstrar. Mas inicialmente vamos fazer mais uma atividade usando esse fato. Nesse sentido, o professor pode apresentar a atividade 2.
Atividade 2
1. Aplicando o resultado observado na atividade 1, responda:
a) Qual é a área do quadrado branco BCED ?
b) Qual é a medida do segmento BC?Justifique.
Essa atividade é muito importante, pois permite aos estudantes determinarem o valor da hipotenusa conhecendo somente os catetos. Assim, essa atividade pode ser usada para mostrar o interesse de uso do resultado. Nesse momento o professor pode enunciar o Teorema de Pitágoras e se possível demonstrar esse resultado.
Nesse momento o professor pode apresentar as construções do GeoGebra para exemplificar que para todos os triângulos retângulos o Teorema de Pitágoras é válido. Disponíveis em:
Atividades extras
1. Nas duas figuras a seguir indique a área do quadrado branco e do segmento BC em cada uma das situações (em cm).
a)
b)
c)
d)
2. Agora sem desenhar os quadrados aplique o resultado para calcular o valor desconhecido x.
a)
b)
3. Uma viga de madeira com 6 m de comprimento foi apoiada em um muro como indicado a seguir.
Fonte: (PATARO e BALESTRI, Matemática essencial 9º ano, 2018, p. 195) PNLD
A que distância a base da viga deve ficar da base do muro para que o topo da viga coincida com o topo do muro?
4. Uma casa de dois pavimentos está sendo construída, sendo necessária uma escada que liga os dois andares. A fim de projetar corretamente a escada, é preciso conhecer seu comprimento.
Os únicos dados disponíveis são a altura, de três metros, e o comprimento horizontal, do primeiro ao último degrau. Determine o comprimento da escada.
5. Carla ao procurar seu gatinho o avistou em cima de uma árvore. Ela então pediu ajuda a sua mãe e colocaram uma escada junto à árvore para ajudar o gato a descer.
Sabendo que o gato estava a 8 metros do chão e a base da escada estava posicionada a 6 metros da árvore, qual o comprimento da escada utilizada para salvar o gatinho?
Avaliação: A análise das atividades e do desenvolvimento dos alunos acontecerá através da observação de como eles pensam e respondem as atividades 1 e 2.
Referências:
Experiência realizada:
Autoras: Luana, Katiane e Gabriela.