Contexto: Áreas de figuras geométricas planas.
Unidade temática: Geometria.
Objeto de conhecimento: Determinar a área de parelelogramos e triângulos.
Objetivo de aprendizagem: Dedução da área do triângulo.
Habilidade: (EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
Recursos: Impressão da atividade, quadro e giz.
Tempo estimado: 2 aulas, sendo uma aula para a área do retângulo e paralelogramo e uma aula para a área do triângulo. Para aplicar as atividades extras será necessário mais 1 aula.
Metodologia:
A atividade 1 tem o objetivo de relembrar como calcular a área do retângulo e qual a sua relação com a área do triângulo.
Atividade 1: Considerando que cada quadradinho tem 1 cm² de unidade de medida, determine a área dos retângulos.
Na atividade 2 espera-se que os estudantes observem que a área dos triângulos é a metade da área dos retângulos.
Atividade 2: Como podemos determinar a área dos triângulos vermelhos contidos dentro dos retângulos? Justifique sua resposta.
Atividade 3: Considerando que cada quadradinho tem 1 cm² de unidade de medida, determine a área dos paralelogramos. Justifique sua resposta.
Observe a animação para explorar uma estratégia de cálculo da área do paralelogramo: https://www.geogebra.org/m/khce4enq. Na sequência o professor formaliza o que é altura de uma figura e como calcular a área de um paralelogramo.
Formalização da Atividade 3: Note que há um triângulo amarelo dentro do paralelogramo.
Se mudarmos esse triângulo de lugar, obtemos um retângulo. Note que não foi acrescentado nada ao paralelogramo, apenas foi transferido uma parte dele (o triângulo). Desse modo, podemos concluir que para calcular a área do paralelogramo é o mesmo que determinar a área de um retângulo.
Para determinar a área de um retângulo basta multiplicar a base pela altura.
Área do retângulo = base x altura = B . h
Após formalizar a área do paralelogramo o professor pode lembrar que o retângulo é um paralelogramo pois tem os dois pares de lados opostos paralelos.
Atividade 4: Relacionando a área do paralelogramo com a área do triângulo.
Observe a animação https://www.geogebra.org/m/RRB8btC7 ou os exemplos.
Você encontra alguma relação entre a área do paralelogramo e do triângulo? Justifique sua resposta
Nesse momento, esperamos que os estudantes observem a relação entre as áreas das figuras. O professor pode projetar a atividade, pedir para acessarem no celular ou imprimir alguns casos para que o aluno observe. No final é importante formalizar as expressões de cálculo da área.
Atividade 5: Recorte os triângulos. Transforme os dois triângulos da mesma forma e tamanho e um paralelogramo.
O que você pode observar na área do triângulo em relação a área do paralelogramo? Justifique sua resposta.
Formalização da área do triângulo: Vamos determinar a área do triângulo.
Nesse exemplo, podemos observar que a altura do triângulo e a base coincide com a do paralelogramo. Note que a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Logo para determinar a área do triângulo basta dividir a área do paralelogramo por 2.
Área do paralelogramo = B x h. Área do triângulo = (B x h) / 2
Para calcular a área do triângulo os alunos precisam identificar a base e a altura. Desse modo, o professor pode utilizar essa construção do GeoGebra para relembrar o conceito das alturas do triângulo: https://www.geogebra.org/m/K3dhdseA
Atividade extra
01) Calcule a área dos triângulos. As medidas estão em centímetros.
02) (OBMEP) O quadrado abaixo está dividido em dois triângulos e um quadrilátero. O triângulo amarelo tem o dobro da área do triângulo azul. Qual é a área do quadrilátero rosa?
a) 36 cm² b) 48 cm² c) 52 cm² d) 56 cm² e) 60 cm² 03) (OBMEP) Na figura, o quadrado tem lado 1 cm. Os quatro triângulos azuis são iguais, assim como os dois triângulos amarelos menores. Os quatro triângulos amarelos maiores têm, cada um deles, base igual ao lado do quadrado, altura com relação a essa base igual a 1 cm, e seus outros dois lados com mesma medida. Dois lados do quadrilátero rosa são paralelos aos lados do quadrado.
a) Qual é a área da região formada pelos triângulos azuis? b) Qual é a área da região formada pelos triângulos amarelos? c) Qual é a área do quadrilátero rosa? 04) (OBMEP) A área da figura destacada em rosa é 28 cm², e seus vértices dividem os lados do quadrado em três partes iguais. Qual é a área do quadrado?
a) 34 cm² b) 36 cm² c) 38 cm² d) 40 cm² e) 42 cm²
Avaliação: A avaliação ocorrerá observando o desenvolvimento da atividade.
Comentários do professor sobre a atividade: A atividade foi desenvolvida no clube de matemática de uma escola estadual de Mato Grosso so Sul. Os alunos apresentaram um pouco de dificuldade de manifestar estratégias para determinar as áreas das figuras quando a expressão algébrica para o cálculo ainda não tinha sido formalizada. Com o auxílio da professora, conseguiram elaborar estratégias e no final compreender, com base nas figuras, como a expressões algébricas para o cálculo das áreas do paralelogramo e do triângulo são estabelecidas.
Anexos:
https://docs.google.com/document/d/11_49fRDn16QLIi68w6xdYfebOwn0OiZm6SM25PXBds8/edit (atividade para imprimir).
Referências:
Autor: Gabriela Nunes Sandim e Katiane Rocha.